notes/notes/mat/Příklady.md

tags
mat

Příklady

---

Třída 1.K odjížděla na lyžařský kurs do Krkonoš, na který byly, jako povinné vybavení, předepsány běžecké a sjezdové lyže. Škola nabídla žákům možnost zapůjčení obou druhů lyží ze školního skladu. Alespoň jeden druh lyží si vypůjčilo celkem 14 studentů. Běžky si vypůjčilo o 5 studentů více, než bylo studentů, kteří se vypůjčili sjezdovky. Pouze jeden druh lyží si vypůjčilo o 4 studenty více, než bylo studentů, kteří si vypůjčili oba druhy lyží. Studentů, kteří si vypůjčili pouze běžky, bylo o 3 méně, než studentů, kteří měli vlastní vybavení a nemuseli si vypůjčit nic. Kolik studentů se zúčastnilo lyžařského kurzu?

a+b+c=14

c+b-5 = a+b

a+c-4=b

c+3=d

c-5+c-5+c-4+c=14

4c-14=14

4c=28

c=7

d=10

a=c-5=2

b=5

Odpověď: 24

---

Písemná práce z matematiky, které se zúčastnilo 35 studentů, obsahovala tři úlohy. Dva studenti vyřešili jenom první úlohu a tři studenti jenom druhou úlohu. První a druhou úlohu vyřešilo 16 studentů, druhou a třetí 14 studentů. Všechny úlohy vyřešilo 10 studentů, první nebo třetí 31 studentů a 3 studenti nevyřešili ani první ani druhou úlohu. Kolik stůdentů vyřešilo: a) aspoň dvě úlohy, b) aspoň jednu úlohu?

---

Z 825 oslovených osob 380 uvedlo, že používá počítač doma nebo v zaměstnání. Počet osob, které používají počítač doma, je dvakrát větší než počet těch, kteří používají počítač doma i v zaměstnání, a je o 40 menší než počet těch, kteří používají počítač pouze v zaměstnání. Kolik oslovených osob používá počítač: a) pouze v zaměstnání? b) doma? c) nepoužívá počítač vůbec?

a -> pouze zaměstnání b -> doma c -> nepoužívá d -> doma i v zaměstnání

c = 825-380 = 445

b = 2d = a - 40

d = b/2 = a/2 - 20

a = b + 40 = d*2 + 20

380 = a + b

b = (380 - 40) / 2 = 340 / 2 = 170

a = 170 + 40 = 210

d = b/2 = 170/2 = 85

---

Jedničku z matematiky má na vysvědčení celkem 9 studentů. Jedničku z fyziky má na vysvědčení celkem 10 studentů. Jedničku z matematiky, nebo z fyziky má na vysvědčení 16 studentů. Jedničku z matematiky má třikrát více studentů, než je studentů, kteří mají jedničku z obou předmětů. Celkem je ve třídě 18 studentů, kteří nemají jedničku z matematiky ani z fyziky. Kolik studentů má jedničku z obou předmětů? Kolik je ve třídě celkem studentů, za předpokladu, že všichni byli klasifikování z matematiky i fyziky? Vennův diagram zakreslete.

---

$$ (\frac{5a+4}a-3):\frac{a+2}{7a^2} $$ $$ \frac{5a+4}a : \frac{a+2}{7a^2} = \frac{5a+4}a * \frac{7a^2}{a+2} = \frac{(5a+4)7a^2}{a^2 + 2} $$ $$ \frac{5a+4}a - \frac{a+2}{7a^2} = \frac{7a^2(5a+4) - (a+2)}{7a^2} = \frac{35a^3 + 28a^2 - a - 2}{7a^2}

---

Součet čísla x a jeho druhé mocniny je 3.75. Vypočítejte číslo x. $x+x^2=3.75$ $x^2+x-3.75=0$ $4x^2+4x-15$ $D=b^2-4ac$ $D=4^2-44(-15)=16+240=256$ $\sqrt{D}=16$ $x=\frac{b\pm\sqrt{D}}{2a}$ $x_1=\frac{4-16}{2*4}$ $x_1=-\frac52$ x_2=\frac{4+16}{2*4}=\frac32

---

Součet čísla x a jeho převrácené hodnoty je 4.25. Vypočítejte číslo x.

$x+\frac1x=4.25$ $x^2+x=4.25x$ $x^2-3.25x+0=0$ $D=b^2-4ac$ $D=(-3.25)^2-410$ $D=(-3.25)^2$ \sqrt{D}=3.25

$x=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}$ $x_1=\frac{3.25+3.25}{2}=0$ x_2=\frac{3.25-3.25}{2}=-\frac{13}4

---

Součet čísel x a y je \frac76 a jejich součin je \frac13. Vypočítejte čísla x, y.

$x+y=\frac76$ x*y=\frac13

$x_1=y_2=\frac23$ x_2=y_1=\frac12

---

Dvojciferné číslo má ciferný součet 7, když vyměníme navzájem jeho cifry, vznikne číslo o 27 větší než bylo původní číslo. Vypočítejte původní číslo.

#!/bin/fish
for i in 16 25 34 43 52 61 70;
	if [ (math $i + 27) = (echo $i | rev) ];
		echo $i;
	end;
end

25

---

Jestliže napíšeme před dvojciferné číslo číslici 3, dostaneme číslo třináctkrát větší, než bylo číslo původní. Určete původní číslo.

#!/bin/fish
for i in (seq 10 99);
	if [ (math 13 \* $i) = 3$i ];
		echo $i;
	end;
end

25

---

$(x+3)^2=9-x^2$ $x^2+2x3+9=9-x^2$ $x^2+6x=-x^2$ 2x^2+6x+0=0

$D=b^2-4ac$ $D=6^2-0$ \sqrt{D}=6

$x=\frac{b\pm\sqrt{D}}{2a}$ $x_1=\frac{6+6}{2*2}$ x_1=3

---

$\frac{-26x+14}{4x-2}\ge0$ $-26x+14\ge0$ $-26x\ge-14$ $26x\le14$ $x\le\frac{14}{26}$ x\le\frac{7}{13}

---

$(x+2)^2=x^2+40$ $x^2+2x2+2^2=x^2+40$ $x^2+4x+4=x^2+40$ $x^2+4x-36=x^2$ $4x-36=0$ $4x=36$ x=9

---

Pokud se obě strany zvětší o 2 cm, obsah se zvětší o 34cm^2. Jestliže stranu A zmenšíme o 1 cm, a stranu B zvětšíme o 1 cm, zmenší se o 6cm^2. Jaký je obvod

$(x+2)(y+2)=xy+34$ (x-1)(y+1)=xy-6

$xy+2y+2x=xy+34$ xy+x-y=xy-6

2y+2x=34; Obvod x-y=-6

---

Maturity

A+C = 37 B+C = 35 D = 30 C = 12

---

Trojciferný číslo má součet cifer 22. Když vyměníme první a třetí cifru, dostaneme číslo o 297 větší než bylo původní číslo. A když vyměním u původního čísla třetí a druhou cifru, dostaneme číslo o 18 větší než původní.

$x+y+z=22$ $x+10y+100z=100x+10y+z+297$ 100x+y+10z=100x+10y+z+18

$x=6$ $y=7$ z=9

---

Rozdíl čísla x a jeho druhé odmocniny je -0.24. $x - \sqrt{x}=-0.24$ $-\sqrt{x}=-0.24-x$ $x=(0.24+x)^2$ $x=0.0576+2x0.24+x^2$ $x=0.0576+0.48x+x^2$ $x^2+0.52+0.0576=0$ $D=b^2-4ac$ $D=0.52^2-410.0576$ $D=0.2704-0.2304$ $D=0.04$ $\sqrt{D}=0.2$ $x=\frac{-b^2\pm\sqrt{D}}{2a}$ $x=\frac{-0.52\pm0.2}2$ $x_1=\frac{-0.32}2=-0.16$ x_2=\frac{-0.72}2=-0.36

---

Součet x a jeho druhé odmocniny 3.75

$x+\sqrt{x}=3.75$ $\sqrt{x}=3.75-x$ $x=14.0625-2x3.75+x^2$ $x=14.0625-7.5x+x^2$ 14.0625-8.5x+x^2=0

---

Aleš, Bohouš a Ctibor vykonají společně práci za 6 hodin. Aleš ji vykoná za 15h Bohouš za 18h Za jak dlouho ji udělá Bohouš s Ctiborem.