--- tags: - mat --- # Příklady --- Třída 1.K odjížděla na lyžařský kurs do Krkonoš, na který byly, jako povinné vybavení, předepsány běžecké a sjezdové lyže. Škola nabídla žákům možnost zapůjčení obou druhů lyží ze školního skladu. Alespoň jeden druh lyží si vypůjčilo celkem 14 studentů. Běžky si vypůjčilo o 5 studentů více, než bylo studentů, kteří se vypůjčili sjezdovky. Pouze jeden druh lyží si vypůjčilo o 4 studenty více, než bylo studentů, kteří si vypůjčili oba druhy lyží. Studentů, kteří si vypůjčili pouze běžky, bylo o 3 méně, než studentů, kteří měli vlastní vybavení a nemuseli si vypůjčit nic. Kolik studentů se zúčastnilo lyžařského kurzu? $$a+b+c=14$$ $$c+b-5 = a+b$$ $$a+c-4=b$$ $$c+3=d$$ $$c-5+c-5+c-4+c=14$$ $$4c-14=14$$ $$4c=28$$ $$c=7$$ $$d=10$$ $$a=c-5=2$$ $$b=5$$ Odpověď: 24 --- Písemná práce z matematiky, které se zúčastnilo 35 studentů, obsahovala tři úlohy. Dva studenti vyřešili jenom první úlohu a tři studenti jenom druhou úlohu. První a druhou úlohu vyřešilo 16 studentů, druhou a třetí 14 studentů. Všechny úlohy vyřešilo 10 studentů, první nebo třetí 31 studentů a 3 studenti nevyřešili ani první ani druhou úlohu. Kolik stůdentů vyřešilo: a) aspoň dvě úlohy, b) aspoň jednu úlohu? --- Z 825 oslovených osob 380 uvedlo, že používá počítač doma nebo v zaměstnání. Počet osob, které používají počítač doma, je dvakrát větší než počet těch, kteří používají počítač doma i v zaměstnání, a je o 40 menší než počet těch, kteří používají počítač pouze v zaměstnání. Kolik oslovených osob používá počítač: a) pouze v zaměstnání? b) doma? c) nepoužívá počítač vůbec? a -> pouze zaměstnání b -> doma c -> nepoužívá d -> doma i v zaměstnání $$c = 825-380 = 445$$ $$b = 2d = a - 40$$ $$d = b/2 = a/2 - 20$$ $$a = b + 40 = d*2 + 20$$ $$380 = a + b$$ $$b = (380 - 40) / 2 = 340 / 2 = 170$$ $$a = 170 + 40 = 210$$ $$d = b/2 = 170/2 = 85$$ --- Jedničku z matematiky má na vysvědčení celkem 9 studentů. Jedničku z fyziky má na vysvědčení celkem 10 studentů. Jedničku z matematiky, nebo z fyziky má na vysvědčení 16 studentů. Jedničku z matematiky má třikrát více studentů, než je studentů, kteří mají jedničku z obou předmětů. Celkem je ve třídě 18 studentů, kteří nemají jedničku z matematiky ani z fyziky. Kolik studentů má jedničku z obou předmětů? Kolik je ve třídě celkem studentů, za předpokladu, že všichni byli klasifikování z matematiky i fyziky? Vennův diagram zakreslete. --- $$ (\frac{5a+4}a-3):\frac{a+2}{7a^2} $$ $$ \frac{5a+4}a : \frac{a+2}{7a^2} = \frac{5a+4}a * \frac{7a^2}{a+2} = \frac{(5a+4)7a^2}{a^2 + 2} $$ $$ \frac{5a+4}a - \frac{a+2}{7a^2} = \frac{7a^2(5a+4) - (a+2)}{7a^2} = \frac{35a^3 + 28a^2 - a - 2}{7a^2} $$ ---- Součet čísla $x$ a jeho druhé mocniny je $3.75$. Vypočítejte číslo $x$. $x+x^2=3.75$ $x^2+x-3.75=0$ $4x^2+4x-15$ $D=b^2-4ac$ $D=4^2-4*4*(-15)=16+240=256$ $\sqrt{D}=16$ $x=\frac{b\pm\sqrt{D}}{2a}$ $x_1=\frac{4-16}{2*4}$ $x_1=-\frac52$ $x_2=\frac{4+16}{2*4}=\frac32$ --- Součet čísla $x$ a jeho převrácené hodnoty je $4.25$. Vypočítejte číslo $x$. $x+\frac1x=4.25$ $x^2+x=4.25x$ $x^2-3.25x+0=0$ $D=b^2-4ac$ $D=(-3.25)^2-4*1*0$ $D=(-3.25)^2$ $\sqrt{D}=3.25$ $x=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}$ $x_1=\frac{3.25+3.25}{2}=0$ $x_2=\frac{3.25-3.25}{2}=-\frac{13}4$ --- Součet čísel $x$ a $y$ je $\frac76$ a jejich součin je $\frac13$. Vypočítejte čísla $x$, $y$. $x+y=\frac76$ $x*y=\frac13$ $x_1=y_2=\frac23$ $x_2=y_1=\frac12$ --- Dvojciferné číslo má ciferný součet $7$, když vyměníme navzájem jeho cifry, vznikne číslo o $27$ větší než bylo původní číslo. Vypočítejte původní číslo. ```sh #!/bin/fish for i in 16 25 34 43 52 61 70; if [ (math $i + 27) = (echo $i | rev) ]; echo $i; end; end ``` 25 --- Jestliže napíšeme před dvojciferné číslo číslici $3$, dostaneme číslo třináctkrát větší, než bylo číslo původní. Určete původní číslo. ```sh #!/bin/fish for i in (seq 10 99); if [ (math 13 \* $i) = 3$i ]; echo $i; end; end ``` 25 --- $(x+3)^2=9-x^2$ $x^2+2x3+9=9-x^2$ $x^2+6x=-x^2$ $2x^2+6x+0=0$ $D=b^2-4ac$ $D=6^2-0$ $\sqrt{D}=6$ $x=\frac{b\pm\sqrt{D}}{2a}$ $x_1=\frac{6+6}{2*2}$ $x_1=3$ --- $\frac{-26x+14}{4x-2}\ge0$ $-26x+14\ge0$ $-26x\ge-14$ $26x\le14$ $x\le\frac{14}{26}$ $x\le\frac{7}{13}$ --- $(x+2)^2=x^2+40$ $x^2+2x2+2^2=x^2+40$ $x^2+4x+4=x^2+40$ $x^2+4x-36=x^2$ $4x-36=0$ $4x=36$ $x=9$ --- Pokud se obě strany zvětší o $2 cm$, obsah se zvětší o $34cm^2$. Jestliže stranu A zmenšíme o $1 cm$, a stranu B zvětšíme o 1 cm, zmenší se o $6cm^2$. Jaký je obvod $(x+2)(y+2)=xy+34$ $(x-1)(y+1)=xy-6$ $xy+2y+2x=xy+34$ $xy+x-y=xy-6$ $2y+2x=34$; Obvod $x-y=-6$ --- Maturity A+C = 37 B+C = 35 D = 30 C = 12 --- Trojciferný číslo má součet cifer 22. Když vyměníme první a třetí cifru, dostaneme číslo o 297 větší než bylo původní číslo. A když vyměním u původního čísla třetí a druhou cifru, dostaneme číslo o 18 větší než původní. $x+y+z=22$ $x+10y+100z=100x+10y+z+297$ $100x+y+10z=100x+10y+z+18$ $x=6$ $y=7$ $z=9$ --- Rozdíl čísla x a jeho druhé odmocniny je -0.24. $x - \sqrt{x}=-0.24$ $-\sqrt{x}=-0.24-x$ $x=(0.24+x)^2$ $x=0.0576+2x0.24+x^2$ $x=0.0576+0.48x+x^2$ $x^2+0.52+0.0576=0$ $D=b^2-4ac$ $D=0.52^2-4*1*0.0576$ $D=0.2704-0.2304$ $D=0.04$ $\sqrt{D}=0.2$ $x=\frac{-b^2\pm\sqrt{D}}{2a}$ $x=\frac{-0.52\pm0.2}2$ $x_1=\frac{-0.32}2=-0.16$ $x_2=\frac{-0.72}2=-0.36$ --- Součet x a jeho druhé odmocniny $3.75$ $x+\sqrt{x}=3.75$ $\sqrt{x}=3.75-x$ $x=14.0625-2x3.75+x^2$ $x=14.0625-7.5x+x^2$ $14.0625-8.5x+x^2=0$ --- Aleš, Bohouš a Ctibor vykonají společně práci za 6 hodin. Aleš ji vykoná za 15h Bohouš za 18h Za jak dlouho ji udělá Bohouš s Ctiborem.