notes/notes/mat/Funkce/Příklady.md

Date
2022-03-02

Příklady

Určete definiční obory funkcí

---

$f_1: y = x^3 - x^2 + 1$ D_{f_1} = \mathbb{R}

---

$f_2:y=\frac1{6-4x}$ D_{f_2} = \mathbb{R} - \{1.5\}

---

$f_3:y=\frac1{4x^2-9}$ D_{f_3} = \mathbb{R} - \{1.5\}

---

$f_4: y = \frac{\sqrt{4-2x}}3$ D_{f_4} = (-\infty; 2\rangle

---

$f_5:y=\sqrt{x-2}+\frac1x$ D_{f_5}=\langle2;\infty) - \{0\}

---

$f_6:y=\frac{\sqrt{x+3}}{\sqrt{x+7}}$ D_{f_6} = \langle-3;\infty) - \{-7\}

---

$f_7:y=\sqrt\frac{x+3}{x+7}$ D_{f_7} = \langle-3;\infty)

---

Rozhodněte, zda číslo d náleží H(f_i)

---

$d=7$ $f_1:y=3x-4$ $f_1^{-1}: x=\frac{y+4}3$ $D_{f_1^{-1}}=\mathbb{R}$ $H_{f_1}=\mathbb{R}$ $7\in\mathbb{R}$ ✔️

---

$d=5$ $f_2:y=-5$ $H_{f_2} = {-5}$ $5 \not\in {-5}$ ❌

---

$d=0$ $f_3:y=\frac1{x+3}$ $f_3^{-1} : x=\frac1y-3$ $D_{f_3^{-1}} = \mathbb{R} - {0}$ $0\not\in\mathbb{R}-{0}$ ❌

---

$d=-4$ $f_4:y=\frac{x+1}{x-2}$ $f_4^{-1}:2=\frac1y$ $y = \frac{x+1}{x-2}$ $y(x-2)=x+1$ $y(x-2)-x=1$ x-2=\frac{(1+x)}y

---

$d=\frac12$ $f_5:y=\frac1{x^2-1}$ $f_5^{-1}: x=\sqrt{\frac1y+1}$ $D_{f_5^{-1}} = H_{F_5} = (-1;\infty)$ $\frac12 \in (-1; \infty)$ ✔️

---

Určete číslo b\in\mathbb{R} za předpokladu, že:

---

graf funkce f:y=6x+b, prochází bodem $A[0;4]$ $f(0) = 4$ $6*0 + b = 4$ b = 4

---

graf funkce f:y=\frac32x+b, prochází bodem $A[-2;9]$ $f(-2) = 9$ $\frac32*(-2)+b=9$ $-3+b=9$ b=12

---

Určete číslo a\in\mathbb{R} za předpokladu, že:

---

graf funkce f:y=ax+2, prochází bodem $A[-2;6]$ $f(-2) = 6$ $-2a+2=6$ $-2a=4$ $-a=2$ a=-2

---

graf funkce f:y=ax-2, prochází bodem $A[1;2]$ $f(1)=2$ $1a-2=2$ a=4

---

$$ -5-2x=4x+7 $$ $$ x=-2

$$ 8000+100x=10000+80x $$ $$ x=100

---

x + \frac2x - 1 = \frac{x + 6}{x + 2}

x(x+2) + 4 - (x+2) = x + 6 \space | *(x+2)

[x\neq-2]

x^2+2x+4-x-2=x+6

x^2+x+2=x+6

x^2+x-4=x

x^2-4=0

2 = x

---

\frac{x+2}{x-1}=\frac{x+6}{x+2} \space | *(x-1)(x+2)

[x\neq1]; [x\neq-2]

(x+2)^2 = (x+6)(x-1)

x^2+4x+4=x^2+5x-6

4x+4=5x-6

x=10

---

\frac{2x+1}{x-3}=\frac{4x+2}{2x-1} \space | *(x-3)(2x-1)

[x\neq3]; [x\neq\frac12]

(2x+1)(2x-1)=(4x+2)(x-3)

4x^2-1=4x^2-10x-6 \space|-4x^2

-1=10x-6 \space |+6

5=10x\space|:10

x=0.5

k=\{-\frac12\}

---

\frac{x+3}{x-2}=4+\frac5{x-2} \space | *(x-2)

[x\neq2]

x+3=4(x-2)+5

x+3=4x-3 \space |-x

3=3x-3 \space |+3

6=3x \space | :3

x=2

k=\{\emptyset\}

Výsledné x nemá řešení, protože podmínka zakáže výslednou hodnotu (x nesmí být 2, ale x vyšlo 2)

---

\frac{x+4}{x+5}=2-\frac1{x+5} \space | *(x+5)

[x\neq-5]

x+4=2(x+5)-1

x+4=2x+9 \space | -x

4=x+9 \space | -9

x=-5

k=\{\emptyset\}

---