notes/notes/mat/Funkce/Exponenciální funkce.md

tags
mat mat/funkce

Exponenciální funkce

Exponenciální funkce o základu a je funkce y=a^x, kde a\in\mathbb{R}^+-\{1\}

Vtip

přijde matematik a objedná si pivo. přijde další matematik a objedná si půlku piva..

matematik. č.	část piva
0	1
1	\frac12
2	\frac14
3	\frac18
x	y=\frac1{2x}=2^{-x}=(\frac12)^x
-1	2
-3	8
\frac12	\sqrt\frac12

Vlastnosti

• x\in\mathbb{R}
• exponenciála (typ grafu)
• D=\mathbb{R}
• H=(0;\infty)=\mathbb{R}^+
• je prostá (na celém D)
• extrémy nemá
• je omezena zdole
• není sudá ani lichá
• graf prochází (v základním tvaru) [0;1]

f: y=a^x

Rozšířený tvar: f: y=a^{x-n}+m

n udává posun doprava (+n pro posun doleva o n). m udává posun nahoru (-m pro posun dolů o m).

a nesmí být \lt0;=0;=1

pro a < 1, graf klesá pro a > 1, graf roste

Převody

$\frac{x^p}{x^q}=x^{p-q}$ $x^px^q=x^{p+q}$ $(x^a)^b=(x^b)^a=x^ab$ $x^{-p}=\frac1{x^p}$ $(\frac{x}y)^p=(\frac{y}x)^{-p}$ $\sqrt[a]{x^b}=x^{\frac{b}a}=\sqrt[a]x^b$ $x^0=1;\space [x\ne0]$ x^py^p=(xy)^p

Příklady

graf $\frac12^x$

---

S použitím grafů exp.fcí porovnejte (doplněny znaménka (ne)rovnosti):

a) 1.5^p > 1.5^r

p > r

b) (\frac37)^{6.24}<1

c) (\frac85)^{2\pi} > (\frac85)^{0.5\pi}

---

Řešte rovnice pro x\in\mathbb{R}

(\frac13)^{x-4}=(\frac13)^{19x+2}

$x-4=19x+2$ $-6=18x$ x=-\frac13

K=\{\frac13\}

---

15^3*15^{x2}=15^{-x}

$15^{3+2x}=15^{-x}$ $3+2x=-x$ x=-1

K=\{-1\}

---

\frac{6.8^{x^2}}{6.8^3}=6.8^{-2}

$6.8^{x^2-3}=6.8^{-2}$ $x^2-3=-2$ $x^2-1=0$ (x-1)(x+1)=0

K=\{-1;1\}

---

13^{2+x}=(\frac1{13})^x

$13^{2+x}=13^{-x}$ $2+x=-x$ $-2x=2$ x=-1

K=\{-1\}

---

$25^x=5^2*5^3:5^5$ 25^x=5^{2+3-5}

$25^x=5^5:5^5$ $25^x=5^0$ x=0

K=\{0\}

---

\sqrt{3}^5=3^{2x-1}

$3^{\frac52}=3^{2x-1}$ $\frac52=2x-1$ $\frac72=2x$ x=\frac74

---

8^{x+3}=1

$8^{x+3}=8^0$ $x+3=0$ x=-3

K=\{-3\}

---

$2^{x+1}3^{x+1}=6$ $6^{x+1}=6^1$ $x+1=1$ x=0

K=\{0\}

---

\frac{27^x3^2\sqrt3}{g^x}=1

---

\sqrt[5]{(\frac43)^{1-x}}=(\frac34)^{x+3}